Разрешимая модель симметрии

Том 13 научных докладов, Номер статьи: 13768 (2023) Цитировать эту статью

2164 Доступа

3 Альтметрика

Подробности о метриках

Аналитически решаемые модели являются эталоном в изучении фазовых переходов и бифуркаций, образующих паттерны. Такие модели известны для фазовых переходов второго рода в однородных средах, но не для локализованных состояний (солитонов), поскольку интегрируемые уравнения, порождающие солитоны, не допускают в них собственных переходов. Мы вводим разрешимую модель фазовых переходов с нарушением симметрии как первого, так и второго рода (также называемых суб- и сверхкритическими бифуркациями) для солитонов, закрепленных на комбинированном линейно-нелинейном двухямном потенциале, представленном симметричной парой дельта-функций. Рассмотрены как самофокусирующие, так и дефокусирующие признаки нелинейности. В первом случае точные решения получаются для симметричных и несимметричных солитонов. Решения явно демонстрируют переключение между нарушающими симметрию переходами первого и второго рода (т.е. суб- и сверхкритическими бифуркациями соответственно). В модели самодефокусировки решение демонстрирует переход второго рода, нарушающий антисимметрию первого возбужденного состояния.

Динамика коллективных возбуждений в физических системах определяется взаимодействием лежащей в основе дифракции или дисперсии, нелинейных самодействий полей или волновых функций и потенциалов, действующих на поля. В этом контексте общеизвестно, что основное состояние (GS) линейных систем воспроизводит симметрию основного потенциала, тогда как возбужденные состояния могут реализовывать другие представления той же симметрии1. В частности, волновая функция частицы, захваченной симметричным двухямным потенциалом (ДВП), четная, а первое возбужденное состояние – нечетное.

Хотя эти основные свойства демонстрируются линейным уравнением Шредингера, динамика бозе-эйнштейновских конденсатов (БЭК) в приближении среднего поля определяется уравнением Гросса-Питаевского (УГЭ), которое учитывает взаимодействия между частицами, добавляя кубический член уравнения Шредингера для одночастичной волновой функции2,3. Отталкивающие или притягивающие взаимодействия обозначаются кубическим термом со знаком самодефокусировки (СДФ) или самофокусировки (СФ). По сути, той же самой моделью является знаменитое нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ), которое управляет распространением оптических волн в нелинейных средах4 и находит множество других реализаций, в качестве универсальной модели, управляющей взаимодействием слабой дифракции или дисперсии и кубической нелинейности СФ5. . В оптике аналогом потенциала захвата является термин в NLSE, который объясняет волноводную структуру, вызванную поперечным профилем показателя преломления.

Структура GS в моделях, сочетающих нелинейность DWP и SF, следует симметрии основного потенциала только в слабонелинейном режиме. Типичным эффектом, возникающим при увеличении силы нелинейности SF, является фазовый переход, нарушающий симметрию, который делает GS асимметричным относительно двух ям DWP6. Этот эффект спонтанного нарушения симметрии (SSB) означает, среди прочего, что общеизвестный принцип квантовой механики, согласно которому GS не может быть вырожденным1, больше не справедлив в нелинейных моделях: очевидно, что SSB приводит к вырождению пара двух взаимно симметричных ОС, максимум волновой функции которой прикреплен к левой или правой потенциальной яме лежащего в основе DWP. Эта же система допускает сосуществование симметричного состояния с асимметричными, но выше точки SSB не представляет собой ОС, будучи неустойчивой к возмущениям, нарушающим симметрию.

В системах со знаком нелинейности SDF ГС остается симметричным и устойчивым, а SSB переход нарушает антисимметрию первого возбужденного состояния (оно пространственно нечетное, с ровно одним нулем волновой функции, расположенным в центральном точка). Полученное состояние со спонтанно нарушенной антисимметрией сохраняет нулевую точку, сдвинутую от центра вправо или влево.

0\)40,41,42,43, immediately implies that the family of solutions (3) in the case of the SF nonlinearity, \(\sigma =+1\), and \(\varepsilon >0\) is stable in its entire existence region, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (and completely unstable if the linear potential is repulsive, with \(\varepsilon <0\)). For localized states supported by the SDF nonlinearity, with \(\sigma =-1\), the VK stability criterion is replaced by the anti-VK one44, \(dP/dk<0\). Accordingly, in this case the localized states (3) are also stable in their entire existence region, which is \(00\), implies \(H_{0}<0\) for \(\varepsilon >0\), hence the localized solution represents a true bound state with the negative energy./p>0\) (the attractive potential), while both SF and SDF signs of the nonlinearity, \(\sigma =\pm 1\), will be addressed. For \(\sigma =+1\), the solution explicitly demonstrates gradual switch from the extreme subcritical bifurcation to the supercritical one via a regular subcritical bifurcation, in which the backward-going (lower) branches of unstable asymmetric states reverse into stable upper branches at turning points. For \(\sigma =-1\) the results are more straightforward, corroborating the stability of the symmetric GS and the occurrence of the supercritical antisymmetry-breaking transition in the first excited state./p>+1/2\), respectively, and a combination of these terms at \(|x|<1/2\). At points \(x=\pm 1/2\), the solutions are matched by the continuity condition for U(x) and the jump condition for the derivative dU/dx,/p>1\) and \(E(\varepsilon ,k)<1\), respectively. As it follows from Eq. (17), this condition implies that, in the case of SF nonlinearity, the symmetric state with given propagation constant k exists if the strength of the linear \(\delta\)-function potential does not exceed a maximum value,/p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). The existence boundary (18) is shown by the red curve in Fig. 2a./p>0\)./p>2\). For a given propagation constant, the asymmetric solution exists if \(\varepsilon\) does not exceed a respective maximum value,/p>\) \(P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), and it becomes the second-order transition for \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). The corresponding equation, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), combined with Eq. (24), in which \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) is replaced, as said above, by \(\varepsilon =\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), amounts to/p>0\), are stable. Actually, the instability intervals for the asymmetric solitons are very narrow./p>\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [see Eq. (18)], is always stable, realizing the model’s GS. Accordingly, it is not subject to SSB. More interesting is the first excited state above the GS, i.e., the antisymmetric one, given by Eqs. (11)–(13) (with \(\sigma =-1\))/p>1\), in the area of the \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\) plane above the brown boundary shown in Fig. 2b. Because Eq. (35) yields \(\varepsilon \ge 1\) in the limit of \(k\rightarrow 0\), there are no antisymmetric states at \(\varepsilon <1\). The integral power of the antisymmetric state is/p>1\) and \(\varepsilon >3/2\), respectively, in accordance with what is said above for the generic solutions of the same types./p>2\)./p>